Δυναμικά Συστήματα

Κωδικός 453
Εξάμηνο Χειμερινό
Ώρες Διδασκαλίας - Ώρες Εργαστηρίου 4 - 0
Διδάσκοντες Νικόλαος Σταυρακάκης (Σχολή ΕΜΦΕ), Ρόθος Βασίλειος, Αν. Καθ. Α.Π.Θ.

Περιγραφή

Προαπαιτούμενα: Λογισμός Μιας & Πολλών Μεταβλητών, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (προπτυχιακά), Γραμμική Αλγεβρα.

Σκοπός του Μαθήματος: Η μελέτη γραμμικών και μη γραμμικών συνήθων διαφορικών εξισώσεων με αναλυτικές, γεωμετρικές και αριθμητικές μεθόδους. Επίσης θα γίνει εξάσκηση των σπουδαστών στους υπολογιστές σε σχετικά προγράμματα.

Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων (20%), ενδιάμεση εξέταση (20%), και γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου (60%)

Περιεχόμενα:

  • Αναλυτική Ποιοτική θεωρία: Ύπαρξη και Μονοσήμαντο Λύσης Διαφορικών Εξισώσεων. Επεκτασιμότητα Λύσης- Εξάρτηση από Αρχικές Συνθήκες και Παραμέτρους. Διαφορισιμότητα Λύσης. Ανίσωση Gronwall.
  • Γεωμετρική θεωρία - Ευστάθεια: Εισαγωγή: Χώρος Φάσεων, Κρίσιμα Σημεία, Περιοδικές Λύσεις, Ευστάθεια, α-(ω-) οριακά σύνολα, Αναλλοίωτα Σύνολα, Ελκυστές, Ευστάθεια.
  • Γραμμικά Συστήματα: Γενική Θεωρία- Επίπεδα Αυτόνομα Συστήματα- Κανονικές Μορφές- Ποιοτική Ισοδυναμία Γραμμικών Συστημάτων- Ταξινόμηση Εικόνων Φάσεων.
  • Σχεδόν Γραμμικά Συστήματα: Εισαγωγή- Ισοδυναμία Ροών στη 1 διάσταση- Ποιοτική Ισοδυναμία Γραμμικών Συστημάτων στο Επίπεδο (Γραμμική - Τοπολογική - Διαφορίσιμη Ισοδυναμία)- Ισοδυναμία Μη Γραμμικών Ροών.
  • Γραμμικοποίηση: Τοπική και Ολική Συμπεριφορά, Γραμμικοποίηση γύρω από Σταθερό Σημείο, Θεώρημα Γραμμικοποίησης (Hartman – Grobman).
  • Μέθοδος Lyapunov: Συναρτησιακό Lyapunov. Θεωρήματα Ευστάθειας & Αστάθειας του Lyapunov. Πεδίο έλξης. Αρχή του αναλλοίωτου.
  • Θεωρία Διακλάδωσης και Εφαρμογές: Στοιχειώδεις Διακλαδώσεις στη I- Διάσταση (Saddle-Node, Transcritical, Hysteresis, Pitchfork, Fold & Cusp). Τοπικές Διαταραχές κοντά σε Στάσιμα Σημεία (Υπερβολικά Στάσιμα Σημεία, Στάσιμα Σημεία με Τετραγωνικό και Κυβικό Εκφυλισμό). Στοιχειώδεις Διακλαδώσεις στις 2-Διαστάσεις (Saddle-Node, Pitchfork, Vertical, Poincare-Andronov-Hopf, Homoclinic or Saddle-Loop),
  • Παρουσία Μηδενικής Ιδιοτιμής: Ευστάθεια. Διακλαδώσεις. Ευσταθείς & Ασταθείς Πολλαπλότητες. Κεντρική Πολλαπλότητα.
  • Θεωρία Βαθμωτών Απεικονίσεων: Εισαγωγικά. Ευστάθεια. Διακλαδώσεις Μονότονων Απεικονίσεων. Διακλάδωση Διπλασιασμού Περιόδου.
  • Βαθμωτές Μη-Αυτόνομες Εξισώσεις: Θεωρία Floquet: Εισαγωγή- Βασική Θεωρία - Εξίσωση Mathieu. Εισαγωγικά για τις Μη-Αυτόνομες Εξισώσεις. Γεωμετρική Θεωρία Περιοδικών Λύσεων. Περιοδικές Εξισώσεις σε ένα Κύλινδρο. Παραδείγματα Περιοδικών Εξισώσεων. Ευστάθεια Περιοδικών Λύσεων. Ευστάθεια & Διακλαδώσεις Περιοδικών Λύσεων. Σύστημα Γινόμενο - Πρώτα Ολοκληρώματα - Συντηρητικά Συστήματα.
  • Παρουσία καθαρά φανταστικών Ιδιοτιμών: Ευστάθεια. Διακλαδώσεις Poincare - Andronov – Hopf.
  • Θεωρία Χάους: Επαναλήψεις Απεικονίσεων, Συμβολική Δυναμική, Θεώρημα Sarkovskii, Παράγωγος Schwarz, Ευστάθεια Περιοδικών Σημείων, Ομοκλινείς Τροχιές, Πέταλο Smale, Εφαρμογές: Εξισώσεις Van der Pol- Duffing- Lorenz.

Επιστροφή