Θεωρία Μέτρου
| Κωδικός | 671 |
|---|---|
| Εξάμηνο | Εαρινό |
| Ώρες Διδασκαλίας - Ώρες Εργαστηρίου | 4 - 0 |
| Διδάσκοντες | Αλέξανδρος Αρβανιτάκης (Σχολή ΕΜΦΕ) |
Περιγραφή
Περιεχόμενα: Άλγεβρες, σ-άλγεβρες, κλάσεις Dynkin, μονότονες κλάσεις. Μέ-τρα και βασικές ιδιότητες τους, πλήρωση μέτρων. Εξωτερικά μέτρα, Θεώρημα επέκτασης Καραθεοδωρή. Ιδιότητες του μέτρου Lebesgue στον Rn (κανονικότητα), Θεώρημα Steinhauss, σύνολα Vitali κ.λ.π.).
Μετρήσιμες συναρτήσεις και ολοκληρωμένη μορφή κατά Lebesgue. Ιδιότητες του ολοκληρώματος Lebesgue (Θεώρημα μονότονης σύγκλισης, Λήμμα Fatou, Θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης).
Σύγκλιση ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων (σύγκλιση κατά μέτρο, σχεδόν παντού και σχεδόν ομοιόμορφα). Θεώρημα Egoroff και Θεώρημα Riesz.
Θεώρημα Fubini και μέτρα γινόμενα.
Προσημασμένα μέτρα (ανάλυση Hahn και ανάλυση Jordan). Θεώρημα Radon-Nikodym.
Χώροι Lp. Συναρτησιακές επιπτώσεις του θεωρήματος Radon-Nikodym (περιγραφή των δυϊκών και αυτοπάθεια των χώρων Lp για 1 < p < ).