Μιγαδικές Συναρτήσεις


Κωδικός 9.2.3390.4
Εξάμηνο 4o
Κατηγορία Κατ' επιλογήν υποχρεωτικό
Ώρες Διδασκαλίας - Ώρες Εργαστηρίου 4 - 0
Διδάσκοντες Γεώργιος Σμυρλής (Σχολή ΕΜΦΕ)

Περιγραφή

Μιγαδικοί αριθμοί

Στοιχειώδεις αλγεβρικές ιδιότητες, μέτρο, το μιγαδικό επίπεδο, τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού. Ακολουθίες και σειρές μιγαδικών αριθμών.

Μιγαδικές συναρτήσεις

Συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής, όριο και συνέχεια. Στοιχειώδεις συναρτήσεις: εκθετική, τριγωνομετρικές, λογαριθμική και βασικές τους ιδιότητες.

Διαφορισιμότητα μιγαδικών συναρτήσεων

Διαφορίσιμες μιγαδικές συναρτήσεις, συνθήκες Cauchy--Riemann, oλόμορφες συναρτήσεις, αρμονικές συναρτήσεις .

Ολοκλήρωση μιγαδικών συναρτήσεων

Καμπύλες στο μιγαδικό επίπεδο. Μιγαδικό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα και βασικές του ιδιότητες, Θεώρημα Cauchy--Goursat, Αρχή της Παραμόρφωσης, Ολοκληρωτικοί Τύποι Cauchy και συνέπειες (Αρχή Μεγίστου Μέτρου, Θεώρημα Liouville, θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας).

Σειρές Taylor και Laurent

Δυναμοσειρές, ακτίνα σύγκλισης δυναμοσειράς, Θεώρημα Cauchy-Hadamard, Θεώρημα Taylor, Σειρές Taylor βασικών συναρτήσεων. Σειρές Laurent, μεμονωμένα ανώμαλα σημεία (αιρώμενα, πόλοι, ουσιώδη).

Ολοκληρωτικά υπόλοιπα

Το Θεώρημα των Ολοκληρωτικών Υπολοίπων, Λογισμός Ολοκληρωτικών Υπολοίπων, Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα, Γενικευμένα Ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων, Ολοκληρώματα Fourier.

Μετασχηματισμοί Möbius

Bασικές ιδιότητες, συμμετρικά σημεία, εύρεση μετασχηματισμών από δίσκο σε ημιεπίπεδο και από δακτύλιο μη ομόκεντρων κύκλων σε δακτύλιο με ομόκεντρους κύκλους – Εφαρμογές σε Dirichlet Προβλήματα Συνοριακών Τιμών στο επίπεδο .