Θεωρία Μέτρου και Εφαρμογές
| Κωδικός | 9.2.3397.7 |
|---|---|
| Εξάμηνο | 7o |
| Κατηγορία | |
| Ώρες Διδασκαλίας - Ώρες Εργαστηρίου | 4 - 0 |
| Διδάσκοντες | Αλέξανδρος Αρβανιτάκης |
Περιγραφή
Εισαγωγή, το πρόβλημα του μέτρου. Μέτρο Lebesgue: Εξωτερικό μέτρο Lebesgue, μετρή-
σιμα σύνολα, η δομή των μετρήσιμων συνόλων, μη μετρήσιμα σύνολα. Μετρήσιμες συ-
ναρτήσεις, ακολουθίες μετρήσιμων συναρτήσεων, θεωρήματα Egorov και Lusin. Προσέγ-
γιση μετρήσιμων συναρτήσεων. Το ολοκλήρωμα Lebesgue: Απλές συναρτήσεις, το ολο-
κλήρωμα μη αρνητικής μετρήσιμης συνάρτησης, βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος.
Θεώρημα μονότονης σύγκλισης του Lebesgue, λήμμα του Fatou. Το γενικό ολοκλήρωμα
του Lebesgue. Θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue, θεώρημα Beppo-Levi.
Σύγκριση των ολοκληρωμάτων Riemann και Lebesgue, προσέγγιση ολοκληρώσιμων συ-
ναρτήσεων. Σύγκλιση ως προς το μέτρο ακολουθίας μετρήσιμων συναρτήσεων. Εφαρμο-
γές στην Ανάλυση Fourier: Λήμμα των Riemann-Lebesgue, μία αναγκαία συνθήκη για τη
σύγκλιση τριγωνομετρικής σειράς (θεώρημα Cantor-Lebesgue) και μία ικανή συνθήκη για
την απόλυτη σύγκλιση τριγωνομετρικής σειράς (θεώρημα Lusin-Denjoy). Χώροι LP [α,b]:
Οι ανισότητες των Young, Hölder και Minkowski, πληρότητα των χώρων LP [α,b], 1 +inf.
Φραγμένα γραμμικά συναρτησοειδή στους LP [α,b], οι συζυγείς χώροι των LP [α,b], 1.